Il diagramma di Hertzsprung-Russell
Claudio Elidoro

La relazione tra l’energia emessa da un oggetto e la sua temperatura è regolata dalla legge di Stefan-Boltzmann. Poiché nella realtà difficilmente abbiamo a che fare con la situazione idealizzata di sorgenti puntiformi, dobbiamo introdurre una relazione che tenga opportunamente conto delle dimensioni dell’oggetto radiante. Se parliamo di stelle, poi, queste dimensioni sono tutt’altro che contenute.

Nel caso delle stelle, dunque, la legge di Stefan-Boltzmann assume la forma

L = 4pR²sT⁴ (1)

In questa espressione R indica il raggio della stella, T la temperatura e σ è la costante di Stefan-Boltzmann.

Un semplice calcolo ci può aiutare a comprendere quantitativamente cosa può comportare in termini di dimensioni la variazione di temperatura superficiale.

Ipotizziamo dunque che due stelle X e Y, pur appartenendo a due classi spettrali differenti, abbiano uguale luminosità. Questo significa che, riferendoci al diagramma HR, le due stelle sono collocate sulla stessa linea orizzontale. La relazione (1) impone che

4pR_X²sT_X⁴ = 4pR_Y²sT_Y⁴ (2)

da cui, come logica conseguenza, otteniamo

R_Y² = (T_X / T_Y)⁴ R_X² (3)

Se, giusto per fare due conti, ipotizziamo che le temperature superficiali delle due stelle considerate siano di 20000 gradi per la stella X (temperatura di una stella di classe B) e 2500 gradi per la stella Y (temperatura di una stella di classe M) otteniamo:

(T_X / T_Y)⁴ = (20000 / 2500)⁴ = 8⁴ = 4096

Questo significa che, applicando l’espressione (3), il raggio della stella Y dovrà essere = 64 volte più grande del raggio della stella X.

Il diagramma HR, però, mostra chiaramente come, nel caso delle giganti rosse, la luminosità sia notevolmente superiore a quella delle stelle di metà sequenza principale. Possiamo dunque, come secondo esercizio di calcolo, ipotizzare un aumento di luminosità di un fattore 10⁵ mantenendo inalterata la temperatura superficiale. Sempre riferendoci al diagramma HR, dunque, questa volta le due stelle si troveranno sulla stessa linea verticale.

I dati a nostra disposizione per questo secondo calcolo, dunque, sono

L_X / L_Y = 10⁵ e T_Y = T_X

Applicando nuovamente la legge di Stefan-Boltzmann otteniamo

L_Y / L_X = (R_Y / R_X)² (T_Y / T_X)⁴

e dunque (R_Y / R_X)² = 10⁵.

Questo comporta che

R_Y = R_X ≈ 316 R_X.

In altre parole, il raggio della seconda stella dovrà essere oltre 300 volte più grande di quello della prima. Sono convinto che, a questo punto, il concetto di stelle “giganti” cominci ad essere meno vago.

Anche a costo di andare un po’ fuori tema, l’occasione di avere sotto mano la legge di Stefan-Boltzmann e la calcolatrice ancora accesa è troppo ghiotta per non approfittarne e fare due conti riguardo la luminosità del nostro Sole.

Contrariamente a quanto solitamente fanno gli astronomi che utilizzano unità cgs, per fare i nostri calcoli impiegheremo il sistema MKS. Questo ci permetterà di ottenere il risultato in watt, unità forse più familiare dell’erg/sec.

I dati a nostra disposizione sono:

σ = 5,67 x 10^-8 joule/m²K⁴sec (costante di Stefan-Boltzmann)

R = 6,96 x 10⁸ m raggio del Sole)

T = 5780 K ( temperatura superficiale del Sole)

Mettendo questi valori nella (1) otteniamo:

L = 4π 5,67 x 10^-8 (6,96 x 10⁸)² (5780)⁴ = 3,84 x 10²⁶ watt

Una verifica della correttezza di questo dato numerico può essere fatta partendo dalla costante solare. Questa grandezza indica la quantità di energia solare che attraversa ogni secondo un’area unitaria posta alla distanza della terra. Misurazioni effettuate al di fuori dell’atmosfera forniscono per la costante solare il valore di 1,36 kwatt/m².

Questo significa che ogni metro quadrato della superficie sferica con raggio pari alla distanza Terra-Sole viene attraversato ogni secondo da 1,36 kwatt. La superficie complessiva (S) di questa sfera è facilmente calcolabile ricordando che la distanza Terra-Sole è (mediamente) di 1,496 x 10¹¹ m.

Otteniamo così:

S = 4π (1,496 x 10¹¹)² = 2,81 x 10²³ m²

Il prodotto di questa superficie per il valore della costante solare ci fornirà l’energia emessa dal Sole. Numericamente:

E = 2,81 x 10²³ x 1,36 x 10³ = 3,82 x 10²⁶ watt

In ottimo accordo con il valore ottenuto dalla legge di Stefan-Boltzmann.

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