Dall’elettromagnetismo classico sappiamo che un elettrone di carica - e sottoposto ad un’accelerazione a   irraggia una energia per unità di tempo pari a  W=2e²a²/3c³ , dove  c  è la velocità della luce (si veda la precedente Spigolatura).
Nel caso di un elettrone che oscilli attorno ad una posizione fissa (come è lecito schematizzare, ai fini di questo problema, il moto di un elettrone in un atomo), è possibile esprimere l’accelerazione in funzione della frequenza di oscillazione   e dell’energia cinetica  E=0.5 mv² , dove m è la massa dell’elettrone e v la sua velocità.
Tralasciando i dettagli matematici, peraltro non difficili, si ottiene (trascurando per semplicità le quantità costanti) W ²E.
Un corpo di dimensioni macroscopiche è composto da un numero enorme di atomi, ognuno assimilabile ad un oscillatore con una propria frequenza ed una propria energia. Il flusso di radiazione B  di frequenza  emesso dall’unità di superficie è dato dal contributo W di ogni oscillatore. Si ottiene

dove è l’energia mediata su tutti gli oscillatori.  Proprio il calcolo di questa energia media risulta cruciale per la corretta valutazione di B.
Supponiamo che uno studente, in tre successive interrogazioni, realizzi le seguenti votazioni: v₁=9, v₂=5, v₃=4. Se il voto finale è dato in base alla media aritmetica, allora si avrà

Qui N  rappresenta il numero di interrogazioni ed il simbolo di sommatoria è utilizzato per esprimere in maniera compatta una sequenza di numerosi addendi. Dunque, il nostro studente, nonostante il vistoso calo di rendimento, raggiunge ugualmente la sufficienza.
Supponiamo ora che il professore ritenga le interrogazioni successive più significative di quelle precedenti in quanto riguardano una fetta più ampia del programma scolastico e danno quindi una valutazione più realistica dell’effettiva preparazione dello studente. Ogni voto viene allora pesato moltiplicandolo per un "peso" p che, per esempio, può essere fatto nel seguente modo: p₁=1/3, p₂=2/3, p₃= 3/3. Il voto finale si ottiene tramite la media pesata

e lo studente viene bocciato.
La media aritmetica è un caso particolare di media pesata, in cui tutti i pesi sono pari all’unità. In natura le medie pesate si realizzano comunemente. All’interno di un gas ad una determinata temperatura si trovano atomi con qualunque velocità, ma atomi con velocità alte sono più rari. Analogamente, gli elettroni degli atomi che compongono un corpo posto a temperatura T  possono oscillare con qualunque frequenza, ma quelli che vibrano a bassa frequenza – e quindi con bassa energia – sono più numerosi. Dunque l’energia media tra tutti gli oscillatori non si realizza tramite una media aritmetica, ma si può dimostrare che il contributo di un oscillatore di energia E  viene pesato tramite il peso p=e ^-E/kT tanto più grande quanto più piccolo è E.
Contrariamente al numero di interrogazioni, che è dato da un numero intero che può aumentare di un’unità alla volta (non esiste un terzo, un quarto di interrogazione!), si può andare da una frequenza all’altra passando per tutti i valori intermedi (anche non interi). La media in questo caso va calcolata tramite un integrale e non una sommatoria:

Questa formula può calcolarsi facilmente con gli usuali metodi di analisi matematica, e si ottiene =kT.  Adottando questo valore dell’energia media, l’espressione che si ottiene per il flusso B(,T)²T   è chiaramente contraddittoria.
Se fosse vera un corpo nero emetterebbe energie sempre maggiori al crescere della frequenza. La potenza totale emessa, derivante dal contributo di tutte le frequenze, risulterebbe infinita. Questo paradosso era noto col nome di "catastrofe ultravioletta".
Planck si dedicò per anni a questo problema tentando di risolverlo rimanendo nella cerchia delle idee classiche. Infine, dopo ripetuti insuccessi, avanzò l’audace ipotesi che un oscillatore atomico non possa vibrare con qualunque energia, ma solo con "quanti" finiti, discreti di energia E_o ; l’energia dell’oscillatore deve essere uguale o a E_o, o a 2E_o, o a 3E_o, e così via.
L’energia media si ottiene allora sommando tutte queste energie ognuna con il suo peso, in maniera analoga al calcolo del voto medio pesato nell’esempio dato più sopra. In questo caso la sommatoria è composta da un numero infinito di addendi, ma il risultato finale è comunque un numero finito, e non infinito, perché i pesi p_n=e^-nE_o/kT degli addendi successivi diventano rapidamente sempre più piccoli al crescere di n. L’energia media diventa allora

Planck utilizzò questa formula nel calcolo del flusso; per accordarsi con la legge dello spostamento di Wien egli pose E_o=h , dove h è una costante universale (costante di Planck).
Il risultato finale è la legge di Planck della radiazione di corpo nero