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Analyse topologique: le genus

Ce test a été proposé par Gott, Melott et Dickinson (1986; voir aussi Weinberg, 1986): il s'agit d'une statistique qui analyse les surfaces de même densité (ou contraste de densité). On définit le genus d'une surface comme la différence entre le nombre de trous et le nombre de régions isolées qui se trouvent sur la surface. Un tore a un genus égal à l'unité (un trou moins 0 régions isolées). La courbure gaussienne d'une surface bidimensionnelle en un point fixé est l'inverse du produit des deux rayons de courbure principaux au même point:

Grâce au théorème de Gauss-Bonnet, le genus est relié à l'integrale de K sur la surface:

Une distribution gaussienne de contraste de densité a un genus égal à

et est le spectre de puissance.

Si l'on suppose une loi de puissance , convoluée avec un filtre gaussien, on a:

Une distribution gaussienne est donc symétrique du point de vue du genus: les valeurs positives de qui correspondent aux régions pleines, et les valeurs négatives de qui correspondent aux vides, ont le même genus: on parle dans ce cas d'une topologie en ``éponge". Une distribution qui montre une courbe de genus tendant vers les valeurs negatives de est dite avoir une meatball topology, tandis qu'un distribution avec une courbe plus centrée sur la partie positive des est dite avoir une swiss-cheese topology. Gott et al. (1989) ont appliqué cette statistique à des échantillons de galaxies et d'amas: leurs résultats indiquent une topologie ``meatball" aux petites échelles, et sont compatibles avec une distribution gaussiene aux plus grandes échelles.



alberto cappi
Wed Feb 5 10:43:08 MET 1997