La notion de fractal (Mandelbrot, 1982) est liée à la définition de
dimension.
Une mesure d'une distribution non fractale est donné par
, où 
est sa dimension topologique.
Une distribution fractale aura toujours une dimension topologique nulle ou
infinie, donc il faut recourir à une généralisation du concept de mesure,
qui sera donnée par exemple par 
, où 
est la dimension
de Hausdorff-Besicovich, et qui donne aussi la définition de fractal.
Un fractal est donc un objet mathématique dont la dimension fractale
(d'Hausdorff) 
est strictement plus grande que sa dimension topologique
.
Il y a beaucoup de définitions de dimension,
et elles ne coïncident pas nécessairement.
Par exemple, en plus de la dimension d'Hausdorff 
et de la
dimension topologique 
, il faut mentionner
la dimension de corrélation 
et
la ``capacity dimension" 
.
Une estimation de la dimension de Hausdorff est en effet donnée
par la ``capacity dimension", mais on a toujours 
:
on peut calculer 
pour un catalogue d'objets
à partir des comptages dans des cellules ou avec le MST.
Si on considère une distribution de N objets, et 
celles
de la même taille 
qui recouvrent l'ensemble, la probabilité
de trouver 
objets dans la celle
i est 
: on dit que 
est la mesure associée à la cellule i.
Les dimensions de Renyi (Renyi 1970) sont alors données par:
où 
est la capacity dimension et
Les régions de haute densité ont un plus grand poids quand q > 0,
et les régions sous-denses pèsent davantage quand q < 0.
Une description alternative est donnée par le spectre des singularités
(Halsey et al., 1986).
On peut considérer une structure multifractale comme une superposition
de structures monofractales homogènes.
Supposons que la probabilité 
qu'une cellule soit occupée
suit la loi de puissance
; 
représente la dimension ponctuelle.
Considérons l'ensemble 
qui contient toutes les
particules qui ont des indices dans l'intervalle 
.
On définit 
(appelé spectre des singularités)
comme la dimension fractale de l'ensemble 
,
qui est une structure monofractale.
Les paires 
et 
sont liés par la
transformée de Legendre 
et
.
Pour une structure multifractale les dimensions
sont des fonctions décroissantes de q, et
est une fonction convexe, avec une valeur maximale
qui corréspond à la dimension d'Hausdorff 
.
Certaines propriétés d'invariance d'échelle de la distribution des
galaxies, de la loi de puissance suivie par sa
fonction de corrélation, à l'éventuelle croissance de 
avec la profondeur des échantillons, sont caractéristiques des
fractals.
Il a été suggeré que la distribution des galaxies puisse être un
monofractal (Pietronero, 1987). En fait, la fonction de corrélation peut
alors être réecrite de la manière suivante:
où R est la profondeur de l'échantillon, et l'on voit
que 
, et que 
dépend de R.
Cela impliquerait l'impossibilité de définir une densité
moyenne pour l'Univers, et l'abandon des modèles
cosmologiques standard. Mais cette hypothèse
est en désaccord avec les observations,
par exemple avec le comportement de la fonction de corrélation
angulaire en fonction de la profondeur de l'échantillon
(voir Jones et al., 1988; Martínez et Jones, 1990).
Pour les galaxies, une description en termes de bifractals
(Balian & Schaeffer, 1989b, qui trouvent deux dimensions,
pour les région denses et 
pour les régions
moins denses, où 
), dans un intervalle d'échelles
limité, semble être en bon accord avec les observations.
Les amas de galaxies semblent aussi montrer des propriétés multifractales (Borgani, Plionis & Valdarnini, 1992).
Pourtant les catalogues disponibles ne sont pas encore assez grands pour pouvoir en tirer des conclusions définitives. En plus, la liaison entre dynamique et développement d'une distribution multifractale n'est pas claire; supposant que cette relation soit clarifiée, il faudra voir si les conditions gaussiennes initiales peuvent générer à l'époque actuelle une telle distribution, caractérisée par un haut degré de non-gaussianité.