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La massa delle stelle
Claudio Elidoro
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Volendo andare un po’ in profondità
in quanto si è detto a proposito della massa di una stella, il primo passo può
essere quello di chiarire come mai una stella di massa maggiore avrà
un’esistenza più breve. Precisiamo subito che quanto stiamo per dire è valido
per le stelle di sequenza principale, le altre sono troppo agitate per farci
due conti in tranquillità. In prima battuta possiamo dire che la
vita di una stella dipende dal rapporto tra le sue scorte energetiche (cioè
la sua massa) e il consumo di queste scorte (cioè la produzione di energia,
dunque la sua luminosità). In simboli avremo che t » M / L (1) dove con t si è indicato il tempo di vita di una stella, con M la massa e con L la luminosità. Nel 1926, Sir
Arthur Stanley Eddington aveva calcolato che per garantire l’equilibrio
di una stella la sua luminosità doveva essere
proporzionale al cubo della sua massa. Lo studio sistematico delle stelle di
sequenza principale ha consentito di scoprire che la relazione di
proporzionalità tra la luminosità e la massa è del tipo L µ M a (2) dove a è compreso tra 3 e 4, dunque in ottimo accordo con
le previsioni di Eddington. Per completezza bisogna dire che il
valore di a non è
fisso, ma varia leggermente con la massa. Questo fatto, comunque, non
compromette il ragionamento che stiamo facendo. Se ora sostituiamo l’espressione
della luminosità come appare nella (2) nella espressione (1) introducendo per
a il valore
simbolico di 3,5 otteniamo t µ 1 / M 2,5 (3) Espressione che ci conferma la
correttezza dell’affermazione da cui siamo partiti, vale a dire che la durata
della vita di una stella è inversamente proporzionale alla sua massa. Giusto per fare due conti, proviamo a
valutare quale potrà essere la durata della vita di Vega
(a Lyrae) confrontandola con il nostro Sole. Dato che Vega ha una massa pari a 2,5 volte quella del nostro
astro, vivrà per un tempo pari a (1/2,5)2,5 = 1/10 della
durata del Sole. Se, dunque, per il Sole si ipotizza una vita di circa 9
miliardi di anni, Vega brillerà per meno di un
miliardo di anni. Il secondo passo di questo
approfondimento è provare a ripercorrere i passaggi teorici e i calcoli che
ci permettono di determinare la massa del Sole. Consideriamo un qualsiasi pianeta in
orbita intorno al Sole e le forze che si contrappongono permettendo al
pianeta di orbitare: da un lato vi è la forza gravitazionale e dall’altro la
forza centrifuga. Indicando con M
la massa del Sole, con m quella
del pianeta e con r la distanza
che li separa, l’espressione della forza gravitazionale è data da:
Per quello stesso pianeta possiamo
esprimere la forza centrifuga come
L’espressione è stata ottenuta
considerando per semplicità un’orbita circolare di raggio r. Uguagliando ora le due espressioni
ed esplicitando M otteniamo
I più attenti avranno senz’altro
riconosciuto nella (6) la terza legge di Keplero. Con semplici passaggi
algebrici, infatti, si può verificare come questa espressione indichi la
proporzionalità tra i quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti e i
cubi delle loro distanze medie dal Sole. Grazie a questa espressione e
utilizzando per semplicità i dati orbitali del pianeta Terra siamo in grado
di calcolare la massa del Sole. Impiegando dunque i seguenti valori: r = 1.5 x T = 365 giorni = 3.15 x 107 s G = 6.67 x 10-11 Nm2/kg2 otteniamo che
M = 2.01 x Un risultato notevole! Nonostante le notevoli
semplificazioni, infatti, abbiamo ottenuto un risultato incredibilmente
vicino al valore riportato dai libri di astronomia (1.99 x |
