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La relazione massa-luminosità delle stelle
Annibale D'Ercole
Osservatorio
Astronomico - Bologna
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La relazione tra luminosità e massa di una stella
non deriva da specifici meccanismi di evoluzione stellare, ma riposa su tre
processi fisici del tutto generali che trovano
applicazione in campi assai diversi tra loro. Essi sono: 1)
la cosiddetta radiazione di corpo nero, ovvero l’energia radiante emessa da
un corpo caldo; 2) il cammino casuale, legato a tutti i processi di
diffusione, come ad esempio quello delle molecole di zucchero in una tazza di
the; 3) l’equilibrio idrostatico, che regola la stabilità di una
stella, ma anche quella dell’atmosfera terrestre. Esaminiamo ora,
singolarmente, ciascuno di questi tre punti. 1) Un corpo caldo emette radiazione,
com’è facile verificare osservando il filamento di una lampadina o di una
stufa elettrica. Naturalmente, maggiore è la temperatura T del corpo, maggiore è la radiazione prodotta. Consideriamo una sfera cava (la
geometria sferica non è importante, ma viene assunta
per semplicità) le cui pareti siano tenute ad una fissata temperatura. La
radiazione all’interno della sfera viene
continuamente assorbita e riemessa dalle pareti. Si
può mostrare, sulla base di sole argomentazioni termodinamiche di carattere
generale, che la densità di energia radiante (ovvero l’energia di radiazione
contenuta in un centimetro cubo) dipende solo dalla temperatura e non da
altri fattori, quali la forma della cavità, il materiale della sfera, le
modalità di riscaldamento, ecc. Nel 1879 il fisico austriaco Josef Stefan formulò la legge
che porta il suo nome e che stabilisce che la
densità di energia è proporzionale alla quarta potenza della temperatura,
ovvero µ T 4. Questo significa che, se consideriamo due cavità
identiche, ma con temperature una doppia dell’altra, quella con temperatura
maggiore produrrà non 2, ma 16 (24) volte
più energia. Queste considerazioni valgono anche se
la sfera è piena (e non è cava) e la radiazione è data da fotoni che vengono
continuamente assorbiti e riemessi dagli atomi che
compongono la sfera stessa (come avviene in una stella). In conclusione, una
sfera di raggio R (e dunque volume
proporzionale a R3) e
temperatura T conterrà un’energia E proporzionale a:
2) Passiamo ora a considerare come la
radiazione prodotta al centro di una stella si propaga fino alla superficie
interagendo con il gas della stella stessa. La situazione è analoga a quella che
si verifica se lasciamo cadere una goccia di inchiostro in un vaso pieno
d’acqua: notiamo che l’inchiostro lentamente si diffonde in tutto il volume
disponibile. Ogni singola molecola di inchiostro va avanti e indietro a causa
degli urti casuali con le molecole d’acqua, ma questo non significa che
mediamente tende a rimanere nella posizione di partenza. Al contrario,
l’effetto netto è la perdita di identità della goccia e uno “sparpagliamento”
delle sue particelle a distanze sempre maggiori. Si può dimostrare (si veda
l’Appendice) che la distanza complessiva R
percorsa dopo N urti casuali,
separati da una distanza ℓ gli
uni dagli altri, è mediamente:
Applichiamo ora questo risultato, del
tutto generale, al caso di una stella di massa M e di raggio R. I
fotoni vengono generati dalle reazioni nucleari al
centro della stella. Se il gas fosse assolutamente trasparente, il tempo
impiegato da un fotone per raggiungere la superficie sarebbe τ = R/c, dove c è la
velocità della luce. In realtà, il gas risulta opaco e il fotone compie N urti con gli atomi del gas (ovvero,
viene assorbito e riemesso
N volte) prima di giungere in
superficie. Il tempo impiegato per fuoriuscire dalla stella è dunque τ = Nℓ/c, dove ℓ
è il cammino libero medio ovvero la distanza media tra gli atomi. Tenendo
conto dell’equazione (2), si ha τ
= R 2/ℓc. La distanza ℓ è, evidentemente, inversamente proporzionale alla densità
del gas, in quanto gli atomi sono tanto più vicini quanto
maggiore è il loro affollamento. Indicando con ρ µ M/R 3 la densità della stella, abbiamo dunque ℓ
µ 1/ρ µ R 3/M e possiamo finalmente scrivere: τ µ M/R. (3)
Fig. 1. Percorso erratico di un fotone
all’interno di una stella. 3) Una stella è una sfera di gas autogravitante in equilibrio idrostatico. Cosa significa?
Un qualunque elemento di gas della
stella tende a cadere verso il centro perché attratto dalla forza di gravità
della stella stessa. D’altra parte, lo stesso elemento di gas , essendo caldo, tende a “evaporare via”, tende cioè a
espandersi e allontanarsi dalla stella. Queste due opposte tendenze si
annullano a vicenda e la stella rimane in equilibrio stabile. Vediamo quale relazione deve
intercorrere tra massa, raggio e temperatura stellari affinché si possa realizzare
questo equilibrio. Un elemento di gas di massa m possiede un’energia termica ET proporzionale alla temperatura T oltre che alla sua stessa massa (una quantità di materia doppia
possiede infatti una doppia quantità di calore): ET
µ mT.
Esso possiede anche un’energia
gravitazionale EG che
dà una misura di quanto intensamente l’elemento è legato gravitazionalmente
alla stella (in effetti l’energia gravitazionale di
tale elemento è definita come l’energia che è necessario fornire per
spostarlo all’infinito vincendo l’azione contraria della forza di gravità).
Risulta evidente che l’energia gravitazionale è tanto maggiore quanto
maggiore è la massa M della stella
e/o la massa m dell’elemento
perché, com’è noto, la gravità che si esercita tra questi due oggetti è
proporzionale al prodotto mM. Sempre in base alla
legge della gravità di Newton, possiamo dire che gli elementi di gas sono
legati tanto più debolmente quanto più è grande il raggio R della stella, poiché la gravità
diminuisce con la distanza. In conclusione, si può facilmente dimostrare che
per l’energia gravitazionale vale EG
µ mM/R. L’equilibrio idrostatico impone che
l’energia termica e gravitazionale siano proporzionali l’una all’altra. Dalla
condizione ET µ EG si ottiene, pertanto: T
µ M/R. (4) Siamo ora in grado di ricavare la
relazione tra luminosità e massa di una stella di sequenza principale. La
luminosità L
indica la rapidità con cui la stella perde la sua energia di radiazione E, in altri termini L ≈ E/τ, dove τ è il tempo caratteristico di fuoriuscita della radiazione
della stella. Tenuto conto delle equazioni (1), (3) e (4) si ha: L µ M 3. Dunque, l’utilizzo di argomenti del tutto generali permette di dimostrare che la
luminosità di una stella dipende, sostanzialmente, solo dalla sua massa
secondo una legge di potenza. Nonostante le semplificazioni
operate, la relazione tra luminosità e massa ottenuta è molto simile a quella osservata L
µ M 3.5. In verità,
nel trattare la propagazione di energia attraverso la stella, abbiamo assunto
che essa avvenga per trasporto radiativo
ovvero per diffusione di fotoni, come discusso più sopra. In realtà, benché
meno importante, è presente anche il fenomeno della convezione (del tutto
simile a quello che si verifica in una pentola d’acqua che bolle) che
contribuisce al trasporto di energie mediante correnti ascensionali di gas
caldo e giustifica la differenza tra il risultato ottenuto e la relazione osservativa. Appendice: il cammino casuale Consideriamo un semplice esempio unidimensionale. Un uomo è posizionato inizialmente nel
punto xo = 0 e si
muove di volta in volta di un passo di lunghezza ℓ verso destra o verso
sinistra a seconda dell’esito del lancio di una
moneta: se, ad esempio, si realizza testa, si muove verso destra (in
direzione delle x positive), altrimenti verso sinistra (x negative).
Dal momento che le probabilità che venga testa sono uguali a quelle che venga
croce, ci si aspetta che dopo N lanci siano avvenuti tanti spostamenti verso
destra quanti verso sinistra e che, quindi, lo spostamento medio sia nullo (`xo = 0).
Questo, tuttavia, non significa che l’uomo sia rimasto
in xo! Una buona misura dell’allontanamento
dalla posizione iniziale xo = 0 è data dal valor medio del
quadrato della posizione xn occupata dopo n lanci (il quadrato è
sempre positivo e quindi la sua media non può essere nulla). Questa posizione
può essere scritta come xn = xn-1 + Sℓ. S = ±1 rappresenta il segno dettato dal lancio della
moneta (p.e. S = 1 per testa e S = -1 per croce): dunque si giunge in xn dopo
essersi mossi di un passo dalla posizione xn-1 raggiunta
dopo n-1 lanci. Se ora facciamo il quadrato di xn abbiamo:
Passiamo ora alla media, tenendo
conto che, ovviamente, il valor medio di S è nullo e quello del suo quadrato
vale 1 (ovvero `S = 0 e `S 2 =
1):
Questa è una relazione ricursiva, ovvero
A seguito di N successive
sostituzioni possiamo allora scrivere:
In conclusione, la distanza R
percorsa dopo N passi casuali ℓ è mediamente:
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