Il caos
Annibale D'Ercole
Osservatorio Astronomico - Bologna

Supponiamo di impartire ad una pallina poggiata su di un piano una velocità in una direzione ben precisa. La pallina si muoverà lungo questa direzione seguendo una traiettoria rettilinea. Se ora ripetessimo l’esperimento con una seconda pallina, sarebbe praticamente impossibile — nonostante ogni sforzo da parte nostra — impartirle la stessa identica direzione di moto. Un piccolo errore nel lancio iniziale si rifletterebbe in una traiettoria rettilinea leggermente divergente rispetto alla precedente: tale divergenza sarebbe tanto minore quanto minore è stato lo scarto nelle velocità iniziali. Questo ci appare alquanto banale e riflette la nostra aspettativa che quanto più simili sono le condizioni di partenza, tanto più simili saranno le successive evoluzioni di un sistema fisico.

Supponiamo ora di porre la nostra pallina sul crinale di un tetto e di volerle imporre una velocità esattamente parallela al crinale, in modo da farla muovere lungo di esso. Questo richiederebbe da parte nostra una precisione di lancio enormemente superiore alle nostre capacità: una qualche imprecisione, per quanto piccola, sarebbe inevitabile. Se, ad esempio, la velocità iniziale divergesse, sia pure di pochissimo, verso destra, dopo un tragitto più o meno lungo (che dipende dalla nostra accuratezza) la pallina scivolerebbe via dal crinale verso destra e rotolerebbe in terra a diversi metri dal crinale stesso. Se lo stesso errore lo avessimo compiuto verso sinistra, la pallina si ritroverebbe alla stessa distanza dal crinale, ma in direzione opposta alla precedente. In conclusione, in questo esempio una sia pure impercettibile differenza nelle condizioni iniziali porta il sistema ad evolvere in maniera completamente diversa. Nonostante la forza di gravità agente sulla pallina sia perfettamente descrivibile, a causa dell’elevata sensibilità alle condizioni iniziali la traiettoria di quest’ultima è di fatto impredicibile.

Un altro semplice esempio di sistema impredicibile è dato dall’urto tra palle di biliardo: la fig. 1 mostra come una piccola variazione nella direzione della velocità iniziale di una palla porta, al succedersi degli urti, ad una traiettoria completamente diversa. Sistemi di questo genere, fortemente dipendenti dalle condizioni iniziali, vengono detti caotici, e rappresentano la norma in natura.

 

 Fig. 1.

 

Grazie alle leggi della dinamica scoperte da Newton, Halley fu effettivamente in grado di tracciare l’orbita della cometa osservata nel 1682, che da lui prende il nome, prevedendone esattamente la data del ritorno. Tuttavia, questo fu possibile solo perché il sistema Sole più cometa (l’influenza dei pianeti è trascurabile in questo caso) è particolarmente semplice. Ma se il Sole fosse stato una stella binaria con una compagna di massa paragonabile, Halley non avrebbe potuto fare alcuna previsione nonostante la forza di gravità totale agente sulla cometa sia facilmente calcolabile anche in questo caso. Gli inevitabili errori di misura nel determinare la posizione e la velocità della cometa di Halley, per quanto piccoli, avrebbero introdotto incertezze intollerabili nella previsione della traiettoria. La fig. 2 mostra quanto consistenti possano essere le variazioni della traiettoria di un oggetto sottoposto alla gravità di due stelle (i due cerchi in figura) al minimo variare della sua velocità di partenza.

 

 Fig. 2.

 

Gli astronomi ritengono che alcuni sottosistemi del Sistema solare abbiano un comportamento caotico. La regione compresa tra Marte e Giove è occupata dalla fascia di asteroidi che tuttavia non è uniformemente popolata, ma presenta zone in cui gli asteroidi mancano. L’influenza del vicino Giove rende instabili le orbite comprese in queste zone e gli eventuali asteroidi che vi transitano sono destinati ad allontanarsi. L’obliquità di Marte (l’angolo tra l’asse di rotazione ed il piano orbitale) varia in maniera altamente irregolare su scale temporali di quattro milioni di anni. Caotiche sono anche le orbite di Iperione, un satellite di Saturno, e dei satelliti di Giove ed Urano. Non è escluso che a lungo andare lo stesso Sistema solare nel suo insieme diventi caotico. La cosa non sfuggì al genio di Newton il quale, tuttavia, riteneva che Dio intervenisse di tanto in tanto a stabilizzare le orbite planetarie.

            Ma il caos può verificarsi in molti altri campi della fisica ed anche in settori lontani dalle cosiddette scienze esatte. La turbolenza dei fluidi, le aritmie cardiache, le improvvise oscillazioni nella popolazione di una specie o nella diffusione di una malattia oppure nella concentrazione degli elementi in alcune reazioni chimiche o nell’andamento economico di alcune merci sono tutte manifestazioni di sistemi caotici. Supponiamo di iniettare, tramite un ugello sottile, una piccola corrente di acqua colorata in un liquido incolore, per esempio acqua, che fluisce in un condotto di vetro. Se la velocità del fluido non è molto elevata, la corrente colorata forma un filetto che scorre parallelamente al condotto senza omogeneizzarsi con il liquido circostante. Se la velocità supera un certo valore, il filetto, pur mantenendo la propria identità, mostra delle oscillazioni. Un ulteriore aumento della velocità porta a raddoppiare le frequenze di oscillazione. Continuando ad aumentare la velocità si assiste ad un aumento a cascata delle frequenze di oscillazione finché, superata una velocità critica, il moto da laminare diventa irregolare con la formazione di vortici e conseguente completo rimescolamento delle due correnti liquide.

Per quanto possa sembrare strano, l’andamento temporale della popolazione di certe specie all’interno di alcuni ecosistemi può essere assimilato a quello della turbolenza appena illustrato. Se il numero di predatori (ad esempio le volpi) è piccolo rispetto a quello delle prede (per esempio i conigli), i predatori aumenteranno fino a raggiungere un equilibrio tra prede e predatori. Se la fertilità aumenta, la popolazione si stabilizza su un livello più alto. Il superamento di un certo valore critico della fertilità, tuttavia, porta le popolazioni di prede e predatori a non essere più stabili e ad oscillare nel tempo tra due determinati valori. Un ulteriore aumento della fertilità conduce ad un aumento delle oscillazioni delle popolazioni, finché, superata una fertilità critica, l’andamento delle popolazioni sarà completamente caotico. Un simile comportamento è stato effettivamente riscontrato, in un periodo di più di cento anni a cavallo tra il secolo scorso e quello precedente, nell’evoluzione delle popolazioni delle lepri delle nevi (prede) e delle linci (predatori) nel Canada.

Anche alcuni episodi di diffusione di determinate malattie infettive hanno mostrato un andamento caotico. Morbillo, poliomielite e rosolia, ad esempio, presentano una frequenza di diffusione che tende ad aumentare e diminuire a periodi. Ci si aspetta che l’introduzione di un programma di vaccinazione porti direttamente ad una riduzione dell’incidenza di queste malattie. In realtà, a seguito di una campagna per estirpare la rosolia in Gran Bretagna, i medici hanno osservato oscillazioni uguali a quelle descritte più sopra per l’andamento di certe popolazioni. Un brusco aumento a breve termine dei casi di rosolia non indica necessariamente un’inefficienza del vaccino, ma un’inevitabile reazione di un sistema complesso.

            In generale, per bassi valori di un determinato parametro — detto parametro d’ordine (la velocità nell’esempio della turbolenza, la fertilità nel caso delle popolazioni di prede e predatori) — l’evoluzione futura di un sistema può essere determinata. All’aumentare del parametro d’ordine il sistema passa dall’ordine al caos ed ogni predizione è praticamente preclusa. Come abbiamo già detto, queste regole si applicano nei campi più disparati, dalla fisica alla chimica, alla meteorologia, alla biologia, alla medicina, all’economia, ecc. Proprio a causa di questa generalità, alcuni studiosi considerano la teoria del caos la terza rivoluzione scientifica del secolo scorso, dopo la teoria della relatività e la meccanica quantistica.

 


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