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Il caos
Annibale
D'Ercole
Osservatorio
Astronomico - Bologna
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Supponiamo di impartire ad una pallina poggiata su di un piano
una velocità in una direzione ben precisa. La pallina si muoverà lungo questa
direzione seguendo una traiettoria rettilinea. Se ora ripetessimo
l’esperimento con una seconda pallina, sarebbe praticamente impossibile
— nonostante ogni sforzo da parte nostra — impartirle la stessa identica direzione di moto. Un
piccolo errore nel lancio iniziale si rifletterebbe in una traiettoria
rettilinea leggermente divergente rispetto alla precedente: tale divergenza
sarebbe tanto minore quanto minore è stato lo scarto nelle velocità iniziali.
Questo ci appare alquanto banale e riflette la nostra aspettativa che quanto
più simili sono le condizioni di partenza, tanto più simili saranno le
successive evoluzioni di un sistema fisico. Supponiamo ora di porre la
nostra pallina sul crinale di un tetto e di volerle imporre una velocità
esattamente parallela al crinale, in modo da farla muovere lungo di esso. Questo richiederebbe da parte nostra una precisione
di lancio enormemente superiore alle nostre capacità: una qualche
imprecisione, per quanto piccola, sarebbe inevitabile. Se, ad esempio, la
velocità iniziale divergesse, sia pure di pochissimo, verso destra, dopo un
tragitto più o meno lungo (che dipende dalla nostra accuratezza) la pallina
scivolerebbe via dal crinale verso destra e rotolerebbe in terra a diversi
metri dal crinale stesso. Se lo stesso errore lo avessimo compiuto verso
sinistra, la pallina si ritroverebbe alla stessa distanza dal crinale, ma in
direzione opposta alla precedente. In conclusione, in questo esempio una sia
pure impercettibile differenza nelle condizioni iniziali porta il sistema ad
evolvere in maniera completamente diversa. Nonostante la forza di gravità
agente sulla pallina sia perfettamente descrivibile, a causa
dell’elevata sensibilità alle condizioni iniziali la traiettoria di
quest’ultima è di fatto impredicibile. Un altro semplice esempio di
sistema impredicibile è dato dall’urto tra
palle di biliardo: la fig. 1 mostra come una piccola variazione nella
direzione della velocità iniziale di una palla porta, al succedersi degli
urti, ad una traiettoria completamente diversa. Sistemi di questo genere, fortemente dipendenti dalle condizioni iniziali, vengono
detti caotici, e rappresentano la
norma in natura.
Grazie alle leggi della dinamica
scoperte da Newton, Halley fu effettivamente in
grado di tracciare l’orbita della cometa osservata nel 1682, che da lui
prende il nome, prevedendone esattamente la data del ritorno. Tuttavia,
questo fu possibile solo perché il sistema Sole più cometa (l’influenza
dei pianeti è trascurabile in questo caso) è
particolarmente semplice. Ma se il Sole fosse stato una stella binaria con
una compagna di massa paragonabile, Halley non
avrebbe potuto fare alcuna previsione nonostante la forza di gravità totale
agente sulla cometa sia facilmente calcolabile anche in questo caso. Gli
inevitabili errori di misura nel determinare la posizione e la velocità della
cometa di Halley, per quanto piccoli, avrebbero
introdotto incertezze intollerabili nella previsione della traiettoria. La fig. 2 mostra quanto consistenti possano essere le
variazioni della traiettoria di un oggetto sottoposto alla gravità di due
stelle (i due cerchi in figura) al minimo variare della sua velocità di
partenza.
Gli astronomi ritengono che
alcuni sottosistemi del Sistema solare abbiano un comportamento caotico. La
regione compresa tra Marte e Giove è occupata dalla fascia di asteroidi che
tuttavia non è uniformemente popolata, ma presenta zone in cui gli asteroidi
mancano. L’influenza del vicino Giove rende
instabili le orbite comprese in queste zone e gli eventuali asteroidi che vi
transitano sono destinati ad allontanarsi. L’obliquità di Marte
(l’angolo tra l’asse di rotazione ed il piano orbitale) varia in
maniera altamente irregolare su scale temporali di
quattro milioni di anni. Caotiche sono anche le orbite di Iperione,
un satellite di Saturno, e dei satelliti di Giove ed Urano. Non è escluso che
a lungo andare lo stesso Sistema solare nel suo insieme diventi caotico. La
cosa non sfuggì al genio di Newton il quale, tuttavia, riteneva che Dio
intervenisse di tanto in tanto a stabilizzare le orbite planetarie. Ma il
caos può verificarsi in molti altri campi della fisica ed anche in settori
lontani dalle cosiddette scienze esatte. La turbolenza dei fluidi, le aritmie
cardiache, le improvvise oscillazioni nella popolazione di una specie o nella
diffusione di una malattia oppure nella concentrazione degli elementi in
alcune reazioni chimiche o nell’andamento economico di alcune merci
sono tutte manifestazioni di sistemi caotici. Supponiamo di iniettare,
tramite un ugello sottile, una piccola corrente di acqua colorata in un
liquido incolore, per esempio acqua, che fluisce in un condotto di vetro. Se
la velocità del fluido non è molto elevata, la corrente colorata forma un
filetto che scorre parallelamente al condotto senza omogeneizzarsi con il
liquido circostante. Se la velocità supera un certo valore, il filetto, pur
mantenendo la propria identità, mostra delle oscillazioni. Un ulteriore
aumento della velocità porta a raddoppiare le frequenze di oscillazione.
Continuando ad aumentare la velocità si assiste ad un aumento a cascata delle
frequenze di oscillazione finché, superata una velocità critica, il moto da
laminare diventa irregolare con la formazione di vortici e conseguente
completo rimescolamento delle due correnti liquide. Per quanto possa sembrare strano, l’andamento temporale della
popolazione di certe specie all’interno di alcuni ecosistemi può essere
assimilato a quello della turbolenza appena illustrato. Se il numero di
predatori (ad esempio le volpi) è piccolo rispetto a quello delle prede (per
esempio i conigli), i predatori aumenteranno fino a raggiungere un equilibrio
tra prede e predatori. Se la fertilità aumenta, la popolazione si stabilizza
su un livello più alto. Il superamento di un certo valore critico della
fertilità, tuttavia, porta le popolazioni di prede e predatori a non essere
più stabili e ad oscillare nel tempo tra due determinati valori. Un ulteriore
aumento della fertilità conduce ad un aumento delle oscillazioni delle
popolazioni, finché, superata una fertilità critica, l’andamento delle
popolazioni sarà completamente caotico. Un simile comportamento è stato
effettivamente riscontrato, in un periodo di più di cento anni a cavallo tra
il secolo scorso e quello precedente, nell’evoluzione delle popolazioni
delle lepri delle nevi (prede) e delle linci (predatori) nel Canada. Anche alcuni episodi di diffusione di determinate
malattie infettive hanno mostrato un andamento caotico. Morbillo,
poliomielite e rosolia, ad esempio, presentano una frequenza di diffusione
che tende ad aumentare e diminuire a periodi. Ci si aspetta che
l’introduzione di un programma di vaccinazione porti direttamente ad
una riduzione dell’incidenza di queste malattie. In realtà, a seguito
di una campagna per estirpare la rosolia in Gran Bretagna, i medici hanno
osservato oscillazioni uguali a quelle descritte più sopra per
l’andamento di certe popolazioni. Un brusco aumento a breve termine dei
casi di rosolia non indica necessariamente un’inefficienza del vaccino,
ma un’inevitabile reazione di un sistema complesso. In
generale, per bassi valori di un determinato parametro — detto parametro d’ordine (la velocità
nell’esempio della turbolenza, la fertilità nel caso delle popolazioni
di prede e predatori) — l’evoluzione futura di un sistema può
essere determinata. All’aumentare del parametro d’ordine il
sistema passa dall’ordine al caos ed ogni predizione è praticamente
preclusa. Come abbiamo già detto, queste regole si applicano nei campi più
disparati, dalla fisica alla chimica, alla meteorologia, alla biologia, alla
medicina, all’economia, ecc. Proprio a causa di questa generalità,
alcuni studiosi considerano la teoria del caos la terza rivoluzione
scientifica del secolo scorso, dopo la teoria della relatività e la meccanica
quantistica.
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